Multi-scale Analysen zur Prognose der Tragsicherheit von Bauwerken

Worin liegt die praktische Bedeutung solcher Analysen? Multi-scale Analysen ermöglichen wirklichkeitsnahe mathematische Beschreibungen des Materialverhaltens. Da der Kollaps von Bauwerken oftmals eine Folge von Materialversagen ist, hängt die Qualität von Prognosen möglicher Kollapsszenarien wesentlich von der Qualität solcher Beschreibungen ab.

Woher stammt das Wissen um solche Szenarien? Um vorhersehbare Schadensfälle im Bauwesen zu verhindern bzw. die Schäden infolge unvorhersehbarer Naturkatastrophen für Mensch, Bauwerk und Umwelt möglichst klein zu halten, beschäftigt sich die baumechanische Forschung intensiv mit dem Versagen von Konstruktionselementen und damit zusammenhängend mit dem Kollaps von Bauwerken. Darauf beziehen sich die ersten drei der vier folgenden Beispiele.

Das erste betrifft den Baustoff Stahlbeton und bezieht sich auf den Einsturz dreier je 114 m hoher, aus diesem Baumaterial hergestellter Kühltürme in England im Jahre 1956 während eines orkanartigen Sturms. Das linke Bild zeigt den Einsturz eines der drei Kühltürme, während das rechte die Situation nach dem Einsturz der Kühltürme illustriert.

Das zweite Beispiel bezieht sich auf den Baustoff Holz. Es betrifft den Einsturz einer aus diesem Baumaterial errichteten Eissporthalle in Bad Reichenhall Anfang Jänner 2006. Ausgelöst wurde er durch eine zwar außergewöhnlich große Schneebelastung, die jedoch kleiner als die der statischen Berechnung zugrunde gelegte Schneelast war. Einer der Einsturzgründe war die durch Feuchtigkeit in der Eissporthalle verursachte erhebliche Schädigung der mit einem Klebstoff aus Harnstoff-Formaldehyd geklebten Verbindungen der Dachkonstruktion.

Das dritte Beispiel betrifft den Baustoff Asphalt und handelt von Schäden an Straßen zufolge von kombinierter Beanspruchung aus Temperatur und Verkehr. Sie bewirken eine Reduktion der Verkehrssicherheit. Die Sanierung solcher Schäden sowie allfällige damit verbundene Straßensperren verursachen zumeist hohe Kosten.

Das letzte Beispiel – der Bruch eines menschlichen Knochens – betrifft zwar keine Baukonstruktion, lässt sich nichtsdestoweniger aber mit der Methodik, die Multi-scale Analysen zu eigen ist, behandeln. Experimentelle und numerische biomechanische Forschung erfolgt sowohl auf dem Niveau ganzer Knochen – ein solcher ist im linken Bild zu sehen – als auch auf der Ebene der Rissfortpflanzung, worauf sich die beiden rechten Bilder beziehen. Das untere Bild zeigt Kollagenmoleküle, die den Bruchfortschritt durch Brückenbildung über den Riss hinweg zu bremsen scheinen, wodurch die Zähigkeit des Materials erhöht würde.

Experimentelle Simulationen des Versagens von Baukonstruktionen stoßen vielfach an technische und finanzielle Grenzen. Deshalb kommt rechnerischen Simulationen – vor allem mittels der außerordentlich vielseitigen Methode der Finiten Elemente – große Bedeutung zu. Dabei spielen Multi-scale Analysen eine immer stärkere Rolle. Ein wesentlicher Bestandteil solcher Analysen sind Homogenisierungsverfahren.

Was versteht man unter solchen Verfahren? Bei Homogenisierungsverfahren werden effektive Materialeigenschaften, wie z.B. Festigkeit, Steifigkeit, Wärmeausdehnung, Wärmeleitfähigkeit, bestimmte weitere Transporteigenschaften, elektromagnetische Charakteristika, usw., aus entsprechenden Eigenschaften der einzelnen Bestandteile und aus deren geometrischer Anordnung abgeleitet. Voraussetzung für die Anwendbarkeit solcher Verfahren ist die Möglichkeit, ein sogenanntes repräsentatives Volumenelement (RVE) zu definieren. Seine charakteristische Länge muss zumindest eine Größenordnung kleiner als die Abmessungen L und der untersuchten, in der nachstehenden Abbildung grau unterlegten Struktur bzw. der auf sie einwirkenden Belastung sein. Die in dieser Abbildung aufscheinende mathematische Beziehung, in der d für die charakteristische Abmessung der einzelnen Bestandteile steht, wird als „separation-of-scales-Bedingung“ bezeichnet. Die Homogenisierung besteht in der Ermittlung eines mechanisch äquivalenten Materials für das RVE. Seine Steifigkeit C^hom – sie kennzeichnet den Zusammenhang von Verzerrungen und Spannungen – lässt sich beispielsweise mittels der Kontinuumsmikromechanik aus der chemischen Zusammensetzung des RVE, den Steifigkeiten c_r der Einzelbestandteile, ihrer Morphologie – etwa kugelförmig oder zylindrisch – sowie aus ihrer Interaktion ermitteln.

Als Beispiel für Multi-scale Analysen in der Baumechanik diene die Ermittlung von Steifigkeit und Festigkeit von jungem Spritzbeton.

Worum handelt es sich bei einem solchen Beton? Spritzbeton ist ein in einem besonderen Verfahren hergestellter und eingebauter Beton, der unter anderem zur Konsolidierung des Vortriebs im Rahmen der Neuen Österreichischen Tunnelbaumethode verwendet wird. Beton ist in der Regel Umwelteinflüssen wie etwa Temperaturschwankungen und dem Transport aggressiver Fluide, ausgesetzt. Eine realitätsnahe Beschreibung des Materialverhaltens erfordert neben der Einbeziehung unterer Wirkungsebenen in die Multi-scale Modellierung die Erfassung der Bauteil- bzw. Strukturverformung, der Temperaturverteilung sowie etwaiger Transportprozesse. Es liegen also mehrere Variablenfelder vor. Zur Lösung des kombinierten Mehrskalen- und Mehrfeldproblems ist folglich neben der Multi-scale Modellierung ein Multi-field Ansatz erforderlich.

Welche Felder enthält dieser Ansatz? Bei der Hydratation jungen Betons kommt es zu einer Temperaturerhöhung im Bauteil und in weiterer Folge zu einer Verbesserung der mechanischen Eigenschaften des Betons. Andererseits beeinflusst die Temperatur die chemische Reaktion zwischen Zement und Wasser. Verzerrungen infolge von Temperaturänderungen bewirken eine zusätzliche mechanische Beanspruchung der Struktur. Bei jungem Beton stehen also die Felder Chemie, Temperatur und Mechanik miteinander in Wechselwirkung. Folglich sind diese drei Felder im Multi-field Ansatz zu berücksichtigen.

Wie sieht ein typisches Multi-scale Modell für Beton aus? Infolge von Hydratation ändert sich die Materialzusammensetzung des jungen Betons. Bei der vorliegenden Multi-scale Modellierung wird diese Änderung auf den beiden untersten Ebenen – der Hydrat- bzw. Klinkerebene und der Zementsteinebene – berücksichtigt. Zusätzlich zu diesen beiden Betrachtungsebenen weist das abgebildete Multi-scale Modell für jungen Beton zwei weitere Betrachtungsebenen – die Mörtel- und die Makroebene – auf. Die makroskopischen Materialeigenschaften werden mittels geeigneter Homogenisierungsverfahren auf Basis der Morphologie der Einzelbestandteile und ihrer mechanischen Eigenschaften auf den drei unteren Betrachtungsebenen erhalten.

Wie lassen sich die mechanischen Eigenschaften dieser Bestandteile identifizieren? Die Identifizierbarkeit dieser Eigenschaften wurde durch jüngere Entwicklungen auf dem Gebiet der Nanoindentation, auf das sich die folgende Abbildung bezieht, erleichtert. Bei der Nanoindentation dringt eine diamantene Spitze von gegebener Form in die Oberfläche des Betons ein. Dabei werden Kraft und Eindringung als Funktionen der Zeit aufgezeichnet. Aus den erhaltenen Kraft-Eindringungskurven lassen sich elastische und viskose Charakteristika sowie Festigkeitseigenschaften bestimmen. Aufgrund der Heterogenität des Betons werden für die statistische Auswertung Indentitätsversuche in den Punkten eines quadratischen Rasters durchgeführt. Die drei Konturplots in der nachstehenden Abbildung zeigen die Verteilung des Elastizitätsmoduls über die gerasterte Oberfläche für drei Zemente mit verschiedenen Mahlfeinheiten. Der Abstand zweier benachbarter Rasterpunkte beträgt fünf Mikrometer. Mit den solcherart ermittelten Eigenschaften lassen sich die elastischen Eigenschaften von Beton auf Basis seiner Zusammensetzung durch Homogenisierung bestimmen. Die Qualität der Prognose elastischer Eigenschaften wird in Validierungsversuchen überprüft. Wie das Bild rechts unten zeigt, stimmt der für einen typischen Spritzbeton prognostizierte Elastizitätsmodul in Abhängigkeit vom Hydratationsgrad gut mit experimentell ermittelten Werten des Elastizitätsmoduls überein.

Wie bestimmt man die Tragsicherheit von Spritzbetonschalen beim Tunnelvortrieb mittels des vorgestellten Multi-scale Modells? Dieses Modell wurde in ein hybrides – experimentelles und numerisches – Verfahren zur Bestimmung der Auslastung von Spritzbetonschalen beim Tunnelvortrieb implementiert. Mittels des Modells werden im Rahmen des erwähnten Verfahrens die elastischen Eigenschaften sowie das Kriech- und Schwindverhalten des Spritzbetons bestimmt. Auf diese Weise fließen die jeweilige Materialzusammensetzung und die Baustellenverhältnisse in die Berechnung ein. Zwischen den in einzelnen Punkten der Tunnellaibung gemessenen Verschiebungen wird interpoliert. Damit stehen die zeitlich veränderlichen Randwerte zur Ermittlung des zeitlich variablen Verformungs- und Spannungszustands in der Schale durch Lösung einer kombinierten Rand- und Anfangswertaufgabe zur Verfügung. Bei Kenntnis der zeitlichen Evolution des Spannungszustands lässt sich die Evolution des Auslastungsgrades bestimmen. Dieser ist durch den Abstand des Punktes a im rechten unteren Bild der nachstehenden Abbildung von dem auf der Versagenskurve gelegenen Punkt b gekennzeichnet. Der Punkt a repräsentiert den Spannungszustand im betrachteten Punkt der Spritzbetonschale. Die Versagenskurve stellt den geometrischen Ort aller kritischen Spannungszustände dar. Ihre Form hängt vom gewählten Materialmodell ab. Ein Auslastungsgrad von 100 % signalisiert Materialversagen.

Das linke und das mittlere farbige Bild zeigen den zeitlichen Verlauf der Verteilung des Auslastungsgrades über einen bestimmten Querschnitt beim Vortrieb des Lainzertunnels am Stadtrand Wiens, wobei zuerst nur an der Firste und erst später an den Ulmen ausgebrochen und mit Spritzbeton gesichert wurde. Mit den mit Hilfe des Multi-scale Modells bestimmten elastischen und viskosen Materialeigenschaften wird die Berechnung als Multi-field Analyse durchgeführt. Auf diese Weise lässt sich etwa der Temperaturanstieg in der Spritzbetonschale in der Frühphase der Hydratation realitätsnahe quantifizieren. Die stark ausgeprägte Kriechfähigkeit des jungen Spritzbetons führt zu einem raschen Abbau der in der Schale anfänglich aufgebauten Druckbeanspruchung, die eine Verringerung der Auslastung nach sich zieht.

Was blieb bei der Beschreibung der vorgestellten Multi-scale Analyse ausgeblendet? Es waren das vor allem mechanische, thermische und chemische Details der Analyse von Steifigkeit und Festigkeit von jungem Spritzbeton. Dazu kam die algorithmische Übersetzung problemspezifischer gekoppelter nichtlinearer partieller Differentialgleichungen und die mit entsprechenden Algorithmen für inkrementell-iterative numerische Berechnungen verbundenen Probleme der numerischen Stabilität und der Konvergenzgeschwindigkeit. Nicht berücksichtigt, weil im gegebenen Fall nicht erforderlich, wurden ferner extrem kleine Längenskalen, die eine atomistische Modellierung verlangen würden, sowie Zeitskalen.

Abschließende Bemerkungen – Neben der Forderung nach ausreichend großer Tragsicherheit, um die es in diesem Beitrag ging, müssen Bauwerke Mindesterfordernisse an Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit erfüllen, den Forderungen nach angemessenen Bau- und geringen Betriebskosten sowie möglichst geringer Beeinträchtigung der Umwelt entsprechen und darüber hinaus ästhetischen Ansprüchen genügen. Breit ausgebildete und gebildete Bauingenieure, ausgestattet mit hoher fachlicher und sozialer Kompetenz, bieten gute Voraussetzungen für die Erfüllung der erwähnten Forderungen. Unter breiter Ausbildung ist eine umfassende wissenschaftliche Fachausbildung zu verstehen, die auf ein breites mathematisches, naturwissenschaftliches und informationstechnisches Fundament aufsetzen muss. Bestandteil der Bildung aber sollte ganz allgemein die Erkenntnis sein, dass es nicht zuletzt die Wissenschaft ist, die einen wesentlichen Anteil an der Funktionstüchtigkeit technischer Schöpfungen hat.

H. Mang

 

Anmerkungen der Redaktion:

Glossar 

Algorithmus: Berechnungs- bzw. Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems in endlich vielen und eindeutig beschriebenen Schritten

Asphalt: ein Gemisch aus Bitumen und Gestein mit Korngrößen bis zu einer je nach Asphaltart unterschiedlichen Maximalgröße. Teer (Abfallprodukt der Holzkohle- und Koksgewinnung) wird aufgrund seiner krebserregenden Eigenschaften im Straßenbau nicht mehr eingesetzt.

Bitumen: letzter Rückstand bei der Raffinierung von Erdöl und dort im Grunde Abfallprodukt. Besteht aus einem Gemisch von Kohlenwasserstoffketten unterschiedlichster, aber durchwegs großer Längen. Die kürzerkettigen Kohlenwasserstoffe wurden durch die Raffinierung bereits als div. Alkohole, Benzin, Kerosin, Diesel bzw. Heizöl leicht, Heizöl schwer etc. extrahiert.

Beton: Gemisch aus Zement, Gesteinskörnung und Anmachwasser (zusätzlich Betonzusatzstoffe/mittel). Die Reaktion mit Wasser (Hydratation) führt zum Auskristallisieren der Klinkerbestandteile des Zements, wobei die endgültige Festigkeit erst nach längerer Zeit erreicht wird.

Fluid: Flüssigkeiten und Gase unterscheiden sich in vielen Eigenschaften nur größenordnungsmäßig und werden als Fluide zusammengefaßt: fließende Stoffe.

Kollagen (letzte Silbe betont): häufigstes Protein bei Säugetieren (über 30 % des Gesamtproteins) und Hauptkomponente der extrazellulären Matrix des Bindegewebes (in Knorpel, Bändern Sehnen, Haut, Knochen,..). Kollagen liegt vor assoziiert zu langen Fibrillen und Fasern von hoher Zugfestigkeit. 

Mörtel: Gemisch aus Bindemittel (Zement oder Kalk), Gesteinskörnung (maximal 4mm Korngröße) und Anmachwasser (zusätzlich Betonzusatzstoffe/mittel).

Stahlbeton: Verbundwerkstoff, bei dem die Druckfestigkeit des Beton und die Zugfestigkeit eingelegter Stahltrossen oder Gitterstahllagen kombiniert werden.

Zement: Bindemittel für Beton und Mörtel. Zement ist ein feingemahlenes kompliziertes anorganisches Stoffgemisch  - bei hohen Temperaturen gebranntes Rohmehl aus Kalkstein, Sand, Ton, Eisenerz (Klinker), vermahlen mit weiteren Zusätzen -, das nach Anrühren mit Wasser (Anmachwasser) unter Ausbildung von Hydraten/Hydratphasen erstarrt und erhärtet (Hydratation).

Weiterführende Links:

Multiskalenansätze zur Bewältigung von Komplexität in Natur- und Geisteswissenschaften: H. Neunzert: Vortrag anlässlich der Verleihung des Akademiepreises des Landes Rheinland-Pfalz am 21.11.2001;  p.10 - 12 http://www.itwm.fraunhofer.de/fileadmin/ITWM-Media/Zentral/Pdf/Berichte_ITWM/2001/bericht29.pdf

Aufsatz: Zukunft im Rechner (p 8 – 12):  http://www.fraunhofer.de/archiv/magazin04-08/fhg/Images/magazin3-2006_tcm5-65475.pdf

Entwicklung integrativer Zukunftsfelder neuen Zuschnitts -  Transdisziplinäre Modelle und Multiskalensimulation (Fraunhofer ISI und IAO, Foresight-Prozess – Im Auftrag des Deutschen Bundesministeriums für Bildung & Forschung) http://www.bmbf.de/pubRD/05_Modelle_Multiskalensimulation_Auszug.pdf

zum Tunnelbau: http://www.geodz.com/deu/d/Tunnelbau

 

Über den Autor:

Em. o. Prof. Herbert A. Mang studierte Bauingenieurwesen und Mathematik (Technische Universität Wien, Texas Technological University). Nach seiner Habilitation war er langjähriger Ordinarius für Festigkeitslehre und Vorstand des gleichnamigen Instituts an der TU Wien und Dekan und Prorektor ebendort. Mang war Generalsekretär und darauf folgend Präsident der Österreichischen Akademie der Wissenschaften und Präsident internationaler wissenschaftlicher Organisationen. Er ist Träger hochrangiger Auszeichnungen, Inhaber zahlreicher Ehrendoktorate und Mitglied höchstrenommierter Gesellschaften. Forschungsschwerpunkte: Numerische Mechanik, Numerische Akustik, Mehrskalen-Analysen.

Details: www.science-blog.at/Autoren